У новому випуску подкасту Mixture of Experts від IBM Technology ведучий Тім Хван разом із інженерами IBM обговорює один із найнезвичніших сюжетів у сучасному ШІ: повідомлення про те, що модель OpenAI запропонувала розв’язок до 78‑річної задачі з комбінаторної геометрії — так званої planar unit distance problem, або «площинної задачі про одиничні відстані» Пола Ерьоша. На тлі розмови про агентні системи, контрольні площини та операційні ризики, саме цей математичний кейс стає тестом на те, чи здатні передові моделі до справжньої творчості, а не лише до витонченого наслідування патернів.
Що таке planar unit distance problem і чому вона важлива
Площинна задача про одиничні відстані була сформульована Полом Ерьошем ще 1946 року й відтоді залишалася відкритою. Її формулювання звучить deceptively просто: маємо n точок на площині. Яка максимальна кількість пар точок може бути розташована на відстані рівно 1 одиниця одна від одної?
На перший погляд це виглядає як вправа з олімпіадної геометрії. Насправді ж ідеться про класичну задачу екстремальної комбінаторної геометрії: потрібно знайти конфігурації, які максимізують кількість «одиничних ребер» між точками. Це робить задачу природним бенчмарком для розуміння того, як поводяться «густі» геометричні структури, які межі мають певні типи графів, що реалізуються в евклідовому просторі, і як виглядають екстремальні конфігурації, коли ми накладаємо на них геометричні обмеження.
Десятиліттями інтуїція математиків тяжіла до того, що найкращі конфігурації мають бути «решітчастими» — наприклад, квадратна ґратка, де точки розташовані у вузлах регулярної сітки. Така структура дає багато пар на відстані 1: кожна точка має сусідів ліворуч, праворуч, зверху й знизу, а для великих n це дає асимптотично оптимальну, як вважалося, кількість одиничних відстаней.
Саме тому будь‑який прогрес у цій задачі — не просто ще один результат у геометрії. Це перевірка нашого розуміння того, як влаштовані екстремальні конфігурації в площині, і водночас тест на здатність нових інструментів — зокрема ШІ‑моделей — знаходити неочевидні структури там, де людська інтуїція десятиліттями впиралася в стелю.
Конфігурація проти квадратної ґратки: що стверджує OpenAI
У подкасті planar unit distance problem з’являється як один із трьох головних сюжетів випуску. На відміну від обговорення корпоративних агентів чи ризиків frontier‑моделей, тут мова йде про чисту математику. OpenAI, за словами учасників дискусії, заявляє, що їхня модель знайшла конфігурацію точок у площині, яка перевершує те, що тривалий час вважалося оптимальним — квадратну ґратку.
Суть претензії в тому, що модель змогла згенерувати розташування n точок, у якому кількість пар на відстані 1 виявилася більшою, ніж у найкращих відомих «решітчастих» конструкціях. Якщо це підтвердиться, йдеться не просто про локальне покращення: це означатиме, що інтуїція про квадратну ґратку як природного «чемпіона» була неповною, а можливо й хибною в певних режимах.
У математиці подібні зрушення часто відбуваються через появу «дивних» прикладів, які руйнують усталені уявлення. Відомі історії, коли нові контрприклади змушували переписувати підручники з топології чи теорії графів. Те, що тепер такий приклад може запропонувати генеративна модель, робить ситуацію принципово новою.
Важливо, що мова не йде про те, що ШІ «довів теорему» в повному формальному сенсі. Йдеться про побудову конкретної конфігурації, яка демонструє кращий показник, ніж попередні людські конструкції. Далі в гру мають вступити математики: перевірити коректність, спробувати узагальнити і, можливо, перетворити емпіричний результат на строгий теоретичний доказ.
Між творчістю та патерн‑матчингом: що саме робить модель
Саме planar unit distance problem у розмові використовується як лакмусовий папірець: чи справді передові моделі демонструють елементи математичної творчості, чи ми маємо справу лише з надзвичайно потужним патерн‑матчингом?
З одного боку, пошук екстремальних конфігурацій — це завдання, яке добре лягає на сучасні ШІ‑підходи. Можна уявити собі модель, яка генерує багато кандидатних розташувань точок, оцінює кількість одиничних відстаней, а потім поступово покращує конфігурацію, керуючись певною функцією втрат. У такій постановці модель радше схожа на стохастичний оптимізатор, ніж на «мислячого математика».
З іншого боку, навіть така оптимізація в просторі геометричних конфігурацій може приводити до структур, які людська інтуїція не запропонувала б десятиліттями. І тут виникає питання: якщо модель знаходить конструкцію, що порушує наші очікування, наскільки корисно взагалі розрізняти «справжню творчість» і «складний патерн‑матчинг»?
Учасники подкасту фактично пропонують дивитися на це прагматично. Планарна задача Ерьоша стає тестовим полігоном: якщо модель здатна знайти кращу конфігурацію, ніж квадратна ґратка, це вже змінює практику математики, незалежно від того, як ми філософськи класифікуємо її внутрішні процеси. Математик отримує новий об’єкт для аналізу, нову гіпотезу, новий напрямок для доведення — і це саме те, що в історії науки часто називали творчим проривом.
Як ШІ‑конструкції змінюють математичну практику
Планарна задача Ерьоша в обговоренні стає відправною точкою для ширшої теми: як поява ШІ‑генерованих гіпотез і конструкцій змінить повсякденну роботу математиків.
По‑перше, змінюється роль пошуку прикладів. Там, де раніше математик міг тижнями або місяцями вручну перебирати конфігурації, тепер це може робити модель, яка генерує тисячі варіантів і відсіює більшість із них за лічені хвилини. Людина отримує не «сирі» дані, а вже відібрані кандидати, які демонструють цікаву поведінку — наприклад, більшу кількість одиничних відстаней, ніж будь‑що відоме раніше.
По‑друге, змінюється баланс між емпіричним і теоретичним. У випадку з planar unit distance problem модель може спочатку дати «емпіричний» результат: ось конфігурація, ось підрахунок пар на відстані 1. Далі математики можуть спробувати зрозуміти, чому ця конструкція працює, чи можна її узагальнити, чи існує строгий доказ того, що вона оптимальна в певному діапазоні n. Виходить своєрідний цикл: ШІ пропонує приклад, людина формулює гіпотезу, потім або людина, або формальна система доведення намагається цю гіпотезу підтвердити.
По‑третє, постає питання верифікації. Якщо модель OpenAI стверджує, що знайшла кращу конфігурацію, ніж квадратна ґратка, цього недостатньо для математичної спільноти. Потрібні незалежні перевірки, відтворюваність, формальні доведення. Учасники подкасту підкреслюють, що роль людини тут не зникає: навпаки, вона зміщується в бік контролю, аудиту й інтерпретації результатів, які генерує ШІ.
Цей зсув добре резонує з тим, як у тій же розмові описується операційна сторона агентних систем: там, де агенти поводяться ймовірнісно, потрібні спостережуваність, оцінювання й оптимізація. У математиці, де ставки — істина, а не бізнес‑метрики, вимоги до верифікації ще жорсткіші, але логіка схожа: ШІ може генерувати гіпотези, але остаточне слово залишається за строгими процедурами перевірки.
Від теорем до підприємств: спільні можливості одних і тих самих моделей
Один із найцікавіших моментів дискусії — контраст між двома дуже різними сценаріями використання одних і тих самих frontier‑моделей. З одного боку — чиста математика й planar unit distance problem як тест на творчість. З іншого — цілком прагматичні enterprise‑кейси, де ті ж моделі працюють як агенти, що виконують завдання в бізнес‑процесах, і де IBM будує навколо них watsonx agentic control plane.
У корпоративному контексті IBM описує ситуацію, коли в організаціях уже сьогодні працює від 60 до 200 «некерованих» агентів — експериментальних чат‑ботів, автоматизованих помічників, внутрішніх інструментів, розгорнутих різними командами без єдиної системи управління. На це накладається регуляторний тиск, зокрема з боку Європейського акта про штучний інтелект, і зростання витрат на моделі. Відповіддю стає агентна контрольна площина, яку IBM концептуально порівнює з Kubernetes для контейнерів: окремий контрольний шар для ідентичності, політик, спостережуваності та життєвого циклу, і окремий дата‑плейн, де агенти виконують виклики до LLM і інструментів.
У цьому ж випуску учасники наголошують, що агенти — це по суті «ймовірнісне програмне забезпечення». Воно не детерміноване, але й не хаотичне: поведінка змінюється від запуску до запуску, і тому класичні підходи до тестування та CI‑пайплайнів потрібно доповнювати статистичними методами, спостережуваністю та спеціальними evaluation‑harness. IBM описує тристовпну петлю AgentOps — спостережуваність, оцінювання, оптимізація — і використовує OpenTelemetry, щоб збирати «вихлоп» агентних систем для подальшого аналізу й покращення.
На перший погляд, це зовсім інший світ, ніж комбінаторна геометрія. Але в обох випадках йдеться про одні й ті самі базові можливості моделей: здатність працювати в складних просторах станів, генерувати нетривіальні рішення й адаптуватися на основі зворотного зв’язку. У planar unit distance problem ця здатність проявляється як пошук нової геометричної конфігурації. В enterprise‑агентах — як уміння оркеструвати інструменти, приймати рішення під невизначеністю й оптимізувати поведінку на основі спостережень.
Цей паралелізм підкреслює важливу тезу: творчість і контроль — не взаємовиключні полюси, а два способи використання одних і тих самих моделей у різних контекстах. Там, де в математиці ми заохочуємо «дивні» приклади, що ламають інтуїцію, у корпоративних системах ми, навпаки, будуємо жорсткі контрольні площини, kill‑switch’і та політики, щоб обмежити простір можливих дій агента. Але в обох випадках саме ймовірнісна природа моделей робить їх одночасно потужними й небезпечними.
Люди, машини й межі довіри
Обговорення planar unit distance problem природно переходить у розмову про довіру до ШІ‑систем. В enterprise‑контексті IBM наголошує: навіть якщо протоколи на кшталт MCP стандартизують автентифікацію, передачу даних і формати, базова проблема не зникає. Агенти залишаються ймовірнісними машинами, які не можна вважати повністю контрольованими чи достатньо надійними, щоб без обмежень допускати їх до критичних даних.
Ця логіка напряму переноситься й у математичний контекст. Навіть якщо модель OpenAI знаходить конфігурацію, що перевершує квадратну ґратку, це не означає, що їй можна «довірити математику». Потрібні прозорі процедури: як саме була знайдена конфігурація, як перевірялися відстані, чи можна відтворити результат незалежно, чи існує формальний доказ. ШІ може бути генератором ідей, але не арбітром істини.
Учасники подкасту формулюють це через питання «хто стежить за наглядачами». У світі агентів уже зараз з’являються сценарії, де одні агенти моніторять інших, а над усім цим нависає контрольна площина з політиками, логами й kill‑switch’ами. У математиці роль «наглядача» виконують люди й формальні системи доведення, які перевіряють те, що пропонує модель. У обох випадках ключовим стає не стільки питання «чи розумний ШІ», скільки питання архітектури довіри: хто, як і за якими правилами перевіряє результати його роботи.
Висновок: planar unit distance як пролог до нової епохи математики
Площинна задача про одиничні відстані Пола Ерьоша — це не просто ще одна красива головоломка з геометрії. Вона перетворилася на символічний рубіж між «старою» математикою, де всі ключові кроки робили люди, і новою епохою, де генеративні моделі стають повноцінними учасниками процесу відкриття.
Якщо конфігурація, знайдена моделлю OpenAI, справді перевершує квадратну ґратку, це означатиме, що ШІ здатен не лише відтворювати відомі патерни, а й пропонувати нові структури, які кидають виклик людській інтуїції. Але навіть у цьому разі роль людини не зникає: вона зміщується в бік постановки задач, інтерпретації результатів і побудови систем верифікації — від формальних доказів у математиці до контрольних площин і AgentOps у корпоративних системах.
Планарна задача Ерьоша в цьому сенсі — лише перший гучний кейс. Попереду, ймовірно, десятки й сотні подібних історій, де моделі будуть пропонувати нові конфігурації, гіпотези й контрприклади. Те, як ми сьогодні вибудуємо взаємодію між людською інтуїцією, машинною генерацією й системами контролю, визначить не лише майбутнє математики, а й те, наскільки безпечно й продуктивно ми зможемо використовувати ті самі моделі в набагато більш чутливих сферах — від бізнесу до безпеки.
Джерело
Mixture of Experts — Agent control planes & OpenAI model solves Erdős